UN APPUNTO SULLA GENERALIZZAZIONE DELLA SESTINA LIRICA

Fulvio De Santis

1. Caratteristiche della sestina

Abbiamo visto che la sestina lirica è una composizione realizzata con 6 distinte parole-rima e con con le seguenti caratteristiche strutturali:

  1. il numero delle strofe è pari a quello dei versi di ciascuna strofa;
  2. le sequenze delle parole-rima in ciascuna strofa devono essere tutte diverse tra loro;
  3. ogni parola-rima non deve mai comparire nello stesso numero posizionale di verso nelle sei strofe.

La proprietà più caratteristica della sestina è che il passaggio da un ordinamento all’altro delle sei parole-rima si realizza secondo un’unica regola che consente non solo di rispettare i punti 1-3 di cui sopra, ma anche di riottenere, dopo esattamente sei successive applicazioni, l’ordinamento di partenza delle sei parole-rima. In questo modo la settima potenziale cobla presenterebbe le parole-rima nello stesso ordine della prima strofa.

Abbiamo anche visto che, nella realizzazione della sestina, la regola utilizzata da Arnaut Daniel per il passaggio dalla I alla II cobla, legata ai numeri presenti sulle facce contrapposte di un dado, è la seguente:

al verso 1 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 6

al verso 2 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 1

al verso 3 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 5

al verso 4 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 2

al verso 5 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 4

al verso 6 della II cobla si colloca la parola rima che nella I cobla occupava la posizione 3

Sinteticamente rappresentiamo questa regola con i numeri

6-1-5-2-4-3.

Ripetendo la stessa stessa operazione per 5 volte, si ottiene una sequenza di ordinamenti delle parole-rima che soddisfa i vincoli richiesti.

Se indichiamo con i numeri 1, 2, 3, 4, 5 e 6 le parole-rima da utilizzare, possiamo rappresentare complessivamente i 6 ordinamenti ottenuti con la regola descritta in una tabella (matrice) in cui le righe indicano le strofe del componimento e le colonne il numero del verso di una singola cobla.

VERSO

S

T

R

O

F

A

I

II

III

IV

V

VI

I

1

2

3

4

5

6

II

6

1

5

2

4

3

III

3

6

4

1

2

5

IV

5

3

2

6

1

4

V

4

5

1

3

6

2

VI

2

4

6

5

3

1

Si noti che, per ogni riga e per ogni colonna della matrice, ciascuno dei sei numeri (parole-rime) appare una e una sola volta. Si tratta di un esempio di una struttura matematica denominata quadrato latino.  Si veda, a tal proposito, Martines (in bibliografia) e la voce di Wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_latino), che riporta anche un breve paragrafo sul quadrato latino in letteratura.

Dal punto di vista matematico, le sei sequenze di numeri che rappresentano le sei righe della matrice riportata sono sei possibili permutazioni dei numeri (per noi sempre le sei parole-rima)

{1,2,3,4,5,6},

ovvero sei ordinamenti, diversi tra loro, degli stessi oggetti di partenza. Ovviamente, si tratta di sei particolari ordinamenti dell’insieme considerato, dal momento che il numero complessivo di possibili permutazioni, ovvero di ordinamenti distinti, che possiamo ottenere dall’insieme dato è ben più elevato.

Infatti, per collocare” i sei oggetti a disposizione in una sequenza di sei “posizioni”, si hanno 6 modi diversi (i 6 numeri a disposizione) di scegliere l’oggetto che occupa la prima posizione, 5 modi diversi (i 5 numeri rimasti) per scegliere l’oggetto che occupa la seconda posizione (e quindi 6×5 modi di occupare le prime due posizioni), 4 numeri disponibili per la quarta posizione e così via. Il numero complessivo di modi diversi per occupare le 6 posizioni con i 6 oggetti disponibili è quindi pari al numero 6!, il fattoriale di 6, definito ponendo

6!=6×5×4×3×2×1=720.

La regola che produce gli ordinamenti della matrice considerata, ovvero quelli della sestina, seleziona, dei 720 ordinamenti possibili, sei casi molto speciali, che soddisfano i requisiti sopra richiamati.

2. Generalizzazione: la n-ina

E’ lecito chiedersi se è possibile trovare delle regole, analoghe a quelle considerate nel caso di sei oggetti, che anche per un numero di parole-rima (ovvero di versi di una cobla) diverso da sei soddisfi i requisiti visti per la sestina. Il problema è cioè il seguente: date n distinte parole-rima, è possibile creare un componimento con n strofe tali che

  • ciascuna strofa sia costituita da n versi;
  • l’ordinamento degli n parole-rima sia distinto da strofa a strofa (nessuna parola-rima può occupare la stessa posizione in strofe diverse);
  • la regola di passaggio da cobla a cobla sia sempre la stessa;
  • l’applicazione della regola di passaggio, applicata alla strofa numero n dia, come risultato, l’ordinamento di partenza, ovvero quello della I cobla.

Di questo problema si sono i membri dell’OULIPO (Ouvroir de littérature potentielle), fondato nel 1960 da dieci scrittori e matematici guidati da Raymond Queneau e Francois Le Lionnais. Il risultato (potenziale, perché non è certo che, qualsiasi sia n, il problema abbia soluzione) di questa operazione viene denominato n-ina oppure, in omaggio a Queneau, quenine.

Per illustrare come ottenere, quando possibile, la regola di passaggio che cerchiamo, riprendiamo in considerazione il caso in cui n=6 e riscriviamo la regola che vale per la sestina in termini matematici di permutazione.

Una permutazione, si è detto, è un ordinamento di sei oggetti distinti. Più tecnicamente si può pensare a una permutazione come a una funzione (ovvero una regola che abbina gli elementi di due insiemi) che associa alle posizioni occupate dagli elementi dell’insieme

{1,2,3,4,5,6}

le posizioni che tali oggetti devono avere nell’insieme di “arrivo”. Questa legge, in pratica, data la posizione (numero di verso) di una parola-rima in una cobla, deve determinare la posizione della stessa parola-rima nel verso successivo. Guardando alle prime due righe della matrice considerata sopra, è chiaro che:

  • il primo termine della prima riga (“1”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 2.
  • il secondo termine della prima riga (“2”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 4
  • il terzo termine della prima riga (“3”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 6
  • il quarto termine della prima riga (“4”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 5
  • il quinto termine della prima riga (“5”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 3
  • il sesto termine della prima riga (“6”), si trova nel secondo ordinamento alla posizione 1.

Indicando con σ la funzione che cerchiamo, possiamo allora dire che

σ(1)=2

σ(2)=4

σ(3)=6

σ(4)=5

σ(5)=3

σ(6)=1

Con scrittura compatta si può scrivere

1 2 3 4 5 6

2 4 6 5 3 1

Questa funzione può essere scritta in modo formale: indicando con σ(i) la posizione (numero di verso) che l’oggetto (parola-rima) che occupa la posizione i in una cobla, con i che può assumere i valori da 1 a 6 (ovvero i=1,2,…,6), va ad occupare nella cobla successiva, si ha che:

σ(i)=2i, se i è minore o uguale a 3

σ(i)=2(6-i)+1, se i è maggiore di 3

Se consideriamo ora un numero intero n generico, la formula si generalizza nell’espressione

σ(i)=2i, se i è minore o uguale a n/2

σ(i)=2(n-i)+1, se i è maggiore di n/2

Il problema che ci siamo posti non è però risolto, in quanto non è assicurato che, per qualsiasi valore di n, la formula proposta produca una sequenza di permutazioni di {1, 2, 3, …,n} con i requisiti propri dell’n-ina.

Per esempio, nel caso di n=4, la formula produce la regola di “aggiornamento” seguente:

1 2 3 4

2 4 3 1

Questa regola non può ovviamente produrre una “quartina”, dal momento che, come si evince, il verso che occupa il terzo posto nella I cobla rimane nella stessa posizione in tutti i successivi ordinamenti ottenibili da successive applicazioni della stessa formula.

Le condizioni sul numero n necessarie e sufficienti per ottenere delle n-ine sono state studiate (in particolare da Roubaud). Si tratta di un problema complesso (si veda Odifreddi, per una introduzione): qui ricordiamo solo che una condizione necessaria, ma non sufficiente, è che il numero

2n+1

sia un numero primo (ovvero un numero divisibile solo per se stesso o per l’unità, come ad esempio, i numeri 1, 3, 5, 7, 11, 13…).

Se prendiamo, ad esempio, n=4, abbiamo che 2n+1=9 non è un numero primo e,  come si è visto poco sopra , la regola non produce una quartina.


Analogamente, per n=7, invece, 2n+1=15, e trattandosi di un numero non primo (15 è divisibile per 3 e per 5), siamo certi della non esistenza della n-ina di ordine 7.

Per n=14, invece 2n+1=29 è primo e si può verificare che la legge data produce una…14-ina!

Per un esempio di sestina molto matematica… si veda

http://www.math.pacificu.edu/~emmons/dox/S_estina.pdf

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

M. Audin (2007). Mathématique e littérature. Un article avec des mathématique et de la littérature. Math&Sci.hum. / Mathematical social sciences, n. 178, p. 63-86.

D. Billy (1989). L’architecture lyrique médiévale. S.F.A.I.E.O.

C. Emmons: http://www.math.pacificu.edu/~emmons/dox/S_estina.pdf

Andrea Martines. La letteratura combinatoria. In:

http://www.geocities.com/Athens/Olympus/6043/operazioni1.

P. Odifreddi. Poesia e letteratura matematica.

In : http://matematica.unibocconi.it/odifreddi/poesiaeletteratura.

Wikipedia: quadrato latino. In http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_latino

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